Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der by EDMUND LANDAU PDF

By EDMUND LANDAU

ISBN-10: 3642900127

ISBN-13: 9783642900129

ISBN-10: 3642918697

ISBN-13: 9783642918698

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Uber die Majorante einer beschrankten Funktion. Satz 1 (von Hardy). Voraussetzung: Es 8ei filr Ixl -< 1 fex) 00 = ~ n=O anxn, If(x)1 < 1, und es werde fur 0 < 'I' -< 1 IDl(r) = 00 ~ n=O lanlrn gesetzt. Bebauptung: Bei 'I' --+ 1 ist IDl ('I') = 0 ( 1 ). '11-'1' Beweis: Es konvergiert (vergl. den Beginn der Einleitung) Nach der Cauchyschen Ungleichung ist also ftir jedes m:> 0 - IDl(r) m -< 111 -< l: lanl+ n=O l: lanl n=O V m ~ n=O +VI 00 lim - lanlr"+ 00 l: n=m+l 00 l: n=m+l \a,J2 • lan l l: 2 • lanlr" 00 l: n=m+l r2n V~ r = n=O l: la"I+- n=v m+ 1 n=O 1- r 00 l: n=m+ 1 r=l 32 n m Ian 12 , ~ lanl" , V/ n=m+l V1=r IDl(r) -< l also, da die linke Seite von m frei ist, V1- r lim r=l IDl (1') = 0.

Ubrigens wird -It = und lwine groRere Zahl dies leisten. Vorbemerkung: Der Satz liefert speziell fur jede ganze transzendente Funktion bei allen r::> 0, wenn M(r) = Max. I((x)\ Ixl =r gesetzt wird, die U ngleichung IDl(r) = 00 l: lan lrn - ~ - lanlSnr" n=O M(Sr) - ~ a,,3"rn XU n= 0 M(Sr) (l)n = S 1 M(3r) = f (X) 1 = n~o /anlr n= ffiC(r) M(Sr)" Es ist sehr bemerkenswert, daB iiberhaupt eine absolute Konstante K mit ffiC(r) < M(Kr) existiert ; denn flIT jedes K:> 1 (andere kommen ohnehin nicht in Betracht) liefert die Cauchysche Koeffizientenabschatzung I a" M(Kr) (Krt 1< = bloB ffi'J( ) < r = ~J~ ~ M(Kr) n _ (K)n r - ~ n=O r M(K) ~ 1 r ~ Kn' n=O wo der Faktor von M(Kr) groBer als 1 ist; auch die scharfere Abschiitzung = ~ n=O /a,,12(Krt' < (M(Kr)2 fiihrt nicht zum Ziel, sondern ergibt nur ~ K\'" V 12=0 1 liefert.

D(x", X'») K(V) <::2···----<::2--~ = Nach 1) ist 8. l·L(V) 2 on "1 ~~, I x-x I = 215. d (xv, Xv+1)1 <:: 3 c. 4. LI(x, x') - LI (xv, xH,)1 <:: 315, also, wenn ~ x in hin- - (I(X) = lim {(x 39 + h) - {(x) lim (Cx + h) - ((x) ('(x) = h h=O - h h= 0 -- gesetzt wird, rex) - j'(x) <: 68. Daher sind die etwaigen x mit o<: x <: 1, (' (x) - [' (x) >- 68 durch abzahlbar viele Intervalle der Gesamtlange < 178 zugedeckt. ) = valle der Gesamtlange <: 17 (8 + gilt fUr jedes 8 348 zugedeckt. Dies mit 0 <: 8 <: 2.

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by Steven
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